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O teorema de transporte de Reynolds é o teorema fundamental utilizado na formulação das leis básicas da dinâmica dos fluidos, que são a equação da conservação de massa (ou equação da continuidade), as equações de conservação de quantidade de movimento e a equação de conservação de energia. Na física e na engenharia, essas leis são conhecidas, respectivamente, como: lei da conservação da massa, segunda lei de Newton e leis da Termodinâmica.

O teorema de transporte de Reynolds se refere à taxa de variação de uma propriedade extensiva, N, de um fluido em um volume de controle, que é expressa em termos da derivada material. Seu propósito é fornecer uma ligação entre os conceitos relacionados com os volumes de controles àqueles relacionados com sistemas.^[1][2]

Forma geral |

DNsisDt=∫vc∂∂t(ρη)dV+∫scρηυ→s⋅n^dA+∫scρηυ→f⋅n^dAdisplaystyle frac DN_sisDt=int _vc^frac partial partial t(rho eta )dV+int _sc^rho eta vec upsilon _scdot widehat ndA+int _sc^rho eta vec upsilon _fcdot widehat ndA

onde η é uma propriedade intensiva relacionada com a propriedade extensiva N (N por unidade de massa) por N=m∗ηdisplaystyle N=m*eta , t é o tempo, vc se refere ao volume de controle, sc se refere a superfície de controle, ρ é a massa específica do fluido, V é o volume, υsdisplaystyle upsilon _s é a velocidade da superfície de controle, υfdisplaystyle upsilon _f é a velocidade do fluido em relação a superfície de controle, n é o vetor normal ao elemento de área, e A é a área.

Conservação da massa |

Um sistema é definido como uma quantidade fixa de material. Assim, o princípio de conservação da massa para um sistema pode ser estabelecido por:

DMsisDt=0displaystyle frac DM_sisDt=0

A massa do sistema pode ser representada por:

Msis=∫sisρdυdisplaystyle M_sis=int _sisrho dupsilon

Onde N foi substituído pela massa. No caso η é igual a 1.

0=∫c.v.∂ρ∂tdV+∫c.s.ρv→b⋅n^dA+∫c.s.ρv→r⋅n^dAdisplaystyle 0=;int _c.v.^frac partial rho partial tdV+int _c.s.^rho vec v_bcdot widehat n;dA+int _c.s.^rho vec v_rcdot widehat n;dA

Todas as variáveis são definidas em sua formulação geral. M é igual a massa total do volume de controle. Aplicando o princípio de conservação da massa, o lado esquerdo da equação geral se reduz a 0, uma vez que a massa do sistema não varia no tempo. Em sistemas operando em regime permanente, o primeiro termo do lado direito da equação se reduz a zero, i.e. a massa do volume de controle não muda, o que implica que a massa que entra no volume de controle à igual a massa que sai.

Equação do movimento |

A equação do movimento é obtida substituindo N pela quantidade de movimento. Para tanto, η é definido como sendo a velocidade.

De acordo com a segunda lei de Newton, relembramos que a força é a variação temporal da quantidade de movimento. Então:

∑F→=∫c.v.∂∂t(ρυ→)dV+∫c.s.ρυ→(υ→b⋅n^)dA+∫c.s.ρυ→(υ→r⋅n^)dA,displaystyle sum _vec F=int _c.v.^frac partial partial t(rho vec upsilon )dV+int _c.s.^rho vec upsilon (vec upsilon _bcdot widehat n)dA+int _c.s.^rho vec upsilon (vec upsilon _rcdot widehat n)dA,

onde F é a força, υdisplaystyle upsilon é a velocidade do fluido no sistema de coordenadas em que está a superfície de controle e todas as outras variáveis já foram definidas na formulação geral. Note que trata-se de uma equação vetorial.

Equação da energia |

A equação da energia pode ser obtida substituindo N pela energia. Pra isso, η é definido como sendo a energia por unidade de massa.

Q˙−∑W˙=∫c.v.∂∂t[ρ(υ22+gz+u~)]dV+∫c.s.[υ22+gz+u~+pρ ]ρυ→b⋅n^dA+∫c.s.[υ22+gz+u~+pρ ]ρυ→r⋅n^dAdisplaystyle dot Q-sum dot W=int _c.v.^frac partial partial tleft[rho left(frac upsilon ^22+gz+tilde uright)right]dV+int _c.s.^left[frac upsilon ^22+gz+tilde u+frac prho right]rho vec upsilon _bcdot widehat ndA+int _c.s.^left[frac upsilon ^22+gz+tilde u+frac prho right]rho vec upsilon _rcdot widehat ndA

onde Q é o calor adicionado ao volume de controle, W é o trabalho mecânico realizado pelo sistema, g é a aceleração devido à gravidade, z é uma distancia vertical arbitrária, u~displaystyle tilde u é a energia interna específica do fluido, p é a pressão. Todas as outras variáveis já foram definidas na formulação geral.

Note que a equação não faz nenhuma consideração a reações químicas ou energia potencial associada a campos eletromagnéticos.

Volume de controle fixo |

Para o caso particular de um volume de controle fixo, υs=0displaystyle upsilon _s=0 temos que:

DNsisDt=∫vc∂∂t(ρη)dV+∫scρηυ→f⋅n^dAdisplaystyle frac DN_sisDt=int _vc^frac partial partial t(rho eta )dV+int _sc^rho eta vec upsilon _fcdot widehat ndA

Escoamento em regime permanente |

No caso de regime permanente e volume fixo temos:

∂∂t∫vc(ρη)dV=0displaystyle frac partial partial tint _vc(rho eta )dV=0

Então

DNsisDt=∫sc(ρη)υ→f⋅n^dAdisplaystyle frac DN_sisDt=int _sc(rho eta )vec upsilon _fcdot widehat ndA

Para que exista variação da quantidade de Nsisdisplaystyle N_sis associada ao sistema é necessário existir uma diferença entre a taxa com que Ndisplaystyle N é transportada para dentro do volume de controle e a taxa com que Ndisplaystyle N é transportada para fora do volume de controle.

O lado direito da equação representa a vazão líquida da propriedade no volume de controle. Se N representa a massa, η=1displaystyle eta =1, então

∫sc(ρ)υ→f⋅n^dA=∑ms˙−∑me˙displaystyle int _sc(rho )vec upsilon _fcdot widehat ndA=sum dot m_s-sum dot m_e

onde m˙displaystyle dot m é a vazão em massa (kg/s). Note que existe uma taxa de transferência de massa para fora do volume de controle se a integral do lado esquerdo for positiva. Se, no entanto, o valor da integral for negativo a taxa de transferência de massa ocorre para dentro do volume de controle.

Finalmente escrevemos:

DMsisDt=∑ms˙−∑me˙displaystyle frac DM_sisDt=sum dot m_s-sum dot m_e

Referências

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