Acarretamento Relação entre acarretamento e dedução | Relação com condição lógica | Bibliografia | Menu de navegação
Lógica
lógicalinguagem formal atribuição de valores verdadedomínio vaziomodelodeduçãosistema dedutivocompletoválidosrelação de deducibilidadecorretocondição lógica
Em lógica, o acarretamento (ou implicação lógica ou consequência semântica) é uma relação entre sentenças de uma linguagem formal de tal forma que se Γdisplaystyle boldsymbol Gamma é um conjunto de sentenças e se αdisplaystyle boldsymbol alpha é uma sentença, então podemos concluir que a sentença αdisplaystyle boldsymbol alpha é verdadeira desde que todas as sentenças em Γdisplaystyle boldsymbol Gamma o sejam.
Em símbolos,
- Γ⊨αdisplaystyle boldsymbol Gamma vDash boldsymbol alpha
significa que o conjunto de sentenças de Γdisplaystyle boldsymbol Gamma acarreta, ou tem como consequência semântica, a sentença αdisplaystyle boldsymbol alpha . Note que o acarretamento é uma relação semântica.
Tome como exemplo as seguintes sentenças:
(a) Dexter é americano.
(b) Dexter é um assassino.
(c) Dexter é um assassino americano.
Se as afirmações (a) e (b) são verdadeiras, nós sabemos que (c) é verdadeira.
Podemos dizer que:
- (a) , (b) ⊨displaystyle vDash (c)
(a) e (b) acarretam (c) porque a situação descrita por (c) segue da situação descrita por (a) e (b) juntas.
De uma forma mais técnica, podemos dizer que Γdisplaystyle boldsymbol Gamma acarreta αdisplaystyle boldsymbol alpha se para toda atribuição de valores verdade P tal que VP(β)=1displaystyle mathcal V_P(beta )=1 para toda proposição β∈Γdisplaystyle beta in boldsymbol Gamma , então VP(α)=1displaystyle mathcal V_P(alpha )=1.
Exemplo 1
α,α→β⊨βdisplaystyle alpha ,alpha to beta vDash beta
De fato, VP(α→β)=0displaystyle mathcal V_P(alpha to beta )=0 se , e somente se, VP(α)=1displaystyle mathcal V_P(alpha )=1 e VP(β)=0displaystyle mathcal V_P(beta )=0. Portanto, se VP(α→β)=1displaystyle mathcal V_P(alpha to beta )=1 e VP(α)=1displaystyle mathcal V_P(alpha )=1, então necessariamente VP(β)=1displaystyle mathcal V_P(beta )=1.
Assim, dizemos que o conjunto de sentenças α,α→βdisplaystyle alpha ,alpha to beta acarreta a sentença βdisplaystyle boldsymbol beta .
Exemplo 2
Tome A=∀x∃y:x=ydisplaystyle A=forall xexists y:x=y e B=∃x:x=xdisplaystyle B=exists x:x=x. Então A não acarreta B, uma vez que um domínio vazio é um modelo de A mas não é um modelo de B. Ou seja, não é o caso que todos os modelos de A são modelos de B.
Relação entre acarretamento e dedução |
Idealmente, acarretamento e dedução são extensionalmente equivalentes. Contudo, isso não é sempre o caso.
Um sistema dedutivo S é completo para a linguagem L se e somente se A⊨LXdisplaystyle Amodels _LX implica A⊢SXdisplaystyle Avdash _SX: isto é, se todos os argumentos válidos são dedutíveis (ou prováveis) onde ⊢Sdisplaystyle vdash _S denota a relação de deducibilidade para o sistema S.
Um sistema dedutivo S é correto para uma linguagem L se e somente se A⊢SXdisplaystyle Avdash _SX implica A⊨LXdisplaystyle Amodels _LX: isto é, se argumentos não-inválidos são prováveis.
Relação com condição lógica |
Em alguns casos, acarretamento corresponde à condição lógica (denotado por ⊃displaystyle supset ) da seguinte forma: na lógica clássica, A⊨Bdisplaystyle AvDash B se e somente se existem alguns subconjuntos finitos A1,…,Andisplaystyle A_1,dots ,A_n de A e B1,…,Bmdisplaystyle B_1,dots ,B_m de B onde ∅⊨A1∧⋯∧An⊃B1∨⋯∨Bmdisplaystyle varnothing models A_1land dots land A_nsupset B_1lor dots lor B_m.
Bibliografia |
- Bedregal, Benjamín René Callejas, e Acióly, Benedito Melo (2007), Lógica para a Ciência da Computação, Versão Preliminar, Natal, RN.
