Yhyjyk

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Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas

Em matemática, uma equação do quarto grau é uma equação polinomial monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:

ax4+bx3+cx2+dx+e=0,displaystyle ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,

a≠0displaystyle aneq 0

bdisplaystyle b

cdisplaystyle c

ddisplaystyle d

edisplaystyle e

Exemplos |

x4+2x3−13x2−14x+24=0displaystyle x^4+2x^3-13x^2-14x+24=0

x4−1=0displaystyle x^4-1=0

x4−5x2+6=0displaystyle x^4-5x^2+6=0

Existência de soluções |

O teorema fundamental da álgebra garante que uma equação quártica sempre terá quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas, no conjunto dos números complexos.

Formas especiais |

Equação biquadrática |

Ver artigo principal: Equação biquadrada

Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma:

px4+qx2+r=0.displaystyle px^4+qx^2+r=0.

p≠0displaystyle pneq 0

y=x2displaystyle y=x^2

py2+qy+r=0.displaystyle py^2+qy+r=0.

ydisplaystyle y

y=−q±q2−4pr2p.displaystyle y=frac -qpm sqrt q^2-4pr2p.

x=±−q+q2−4pr2pdisplaystyle x=pm sqrt frac -q+sqrt q^2-4pr2p

x=±−q−q2−4pr2pdisplaystyle x=pm sqrt frac -q-sqrt q^2-4pr2p

Produtos Notáveis |

Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida (x4+ax2+bx+c=0),displaystyle left(x^4+ax^2+bx+c=0right), apresente coeficientes nulos, será um produto notável com as raízes em x=−b4a.displaystyle x=-dfrac b4a.

• 
  Exemplo: x4−4x3+6x2−4x+1=0displaystyle x^4-4x^3+6x^2-4x+1=0 quando reduzido fica na forma z4=0,displaystyle z^4=0, logo x=−b4adisplaystyle x=-dfrac b4a ou x=1.displaystyle x=1.
  

Formula de Wilson x⁴=y²

O método de Ferrari |

As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari.
Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:

x4+px2+q=rxdisplaystyle x^4+px^2+q=rx

az4+bz3+cz2+dz+e=0displaystyle az^4+bz^3+cz^2+dz+e=0

z=x−b4a,displaystyle z=x-frac b4a,

adisplaystyle a

Ao dividirmos a equação por adisplaystyle a, a equação terá a forma z4+Az3+Bz2+Cz+D=0displaystyle z^4+Az^3+Bz^2+Cz+D=0, onde A=badisplaystyle A=frac ba, B=cadisplaystyle B=frac ca, C=dadisplaystyle C=frac da e D=eadisplaystyle D=frac ea^[1]. Ao realizar a substituição z=x−B4displaystyle z=x-frac B4a equação assumirá a forma reduzida x4+px2+q=rxdisplaystyle x^4+px^2+q=rx, onde^[1]

p=B−38A2displaystyle p=B-frac 38A^2

r=−18A3+12AB−Cdisplaystyle r=-frac 18A^3+frac 12AB-C

q=−3256A4+116A2B−14AC+Ddisplaystyle q=-frac 3256A^4+frac 116A^2B-frac 14AC+D

A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual (x2+A)2−(Bx+C)2=0,displaystyle (x^2+A)^2-(Bx+C)^2=0, cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de equações do segundo grau.

No primeiro passo, o primeiro membro da equação, x4+px2+q,displaystyle x^4+px^2+q, é transformado no quadrado baseado em x4+q,displaystyle x^4+q, ou seja, x4+2qx2+q:displaystyle x^4+2sqrt qx^2+q:

x4+q=rx−px2displaystyle x^4+q=rx-px^2

x4+2qx2+q=(2q−p)x2+rxdisplaystyle x^4+2sqrt qx^2+q=(2sqrt q-p)x^2+rx

(x2+q)2=rx+(2q−p)x2displaystyle (x^2+sqrt q)^2=rx+left(2sqrt q-pright)x^2

y,displaystyle y,

y2,displaystyle y^2,

2y⋅(x2+q),displaystyle 2ycdot (x^2+sqrt q),

(x2+q)2+2y⋅(x2+q)+y2=rx+(2q−p)x2+2y⋅(x2+q)+y2displaystyle (x^2+sqrt q)^2+2ycdot (x^2+sqrt q)+y^2=rx+left(2sqrt q-pright)x^2+2ycdot (x^2+sqrt q)+y^2

(x2+q+y)2=(2q−p+2y)x2+rx+2yq+y2displaystyle (x^2+sqrt q+y)^2=(2sqrt q-p+2y)x^2+rx+2ysqrt q+y^2

(2q−p+2y)⋅(x−x+)⋅(x−x−),displaystyle (2sqrt q-p+2y)cdot (x-x_+)cdot (x-x_-),

x+displaystyle x_+

x−displaystyle x_-

(2q−p+2y)x2+rx+2yq+y2=0,displaystyle (2sqrt q-p+2y)x^2+rx+2ysqrt q+y^2=0, ou seja, x=−r±r2−4⋅(2q−p+2y)⋅(2yq+y2)2⋅(2q−p+2y)displaystyle x=dfrac -rpm sqrt r^2-4cdot (2sqrt q-p+2y)cdot (2ysqrt q+y^2)2cdot (2sqrt q-p+2y)

Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que (2q−p+2y)⋅(x−x+)⋅(x−x−)displaystyle (2sqrt q-p+2y)cdot (x-x_+)cdot (x-x_-) seja um quadrado, então escreveremos que x+=x−,displaystyle x_+=x_-, que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula.

Em outras palavras, isto requer:

r2−4⋅(2q−p+2y)⋅(2yq+y2)=0displaystyle r^2-4cdot (2sqrt q-p+2y)cdot (2ysqrt q+y^2)=0

8y3+(24q−4p)y2+(16q−8pq)y−r2=0,displaystyle 8y^3+(24sqrt q-4p)y^2+(16q-8psqrt q)y-r^2=0,

y1displaystyle y_1

r≠0displaystyle rneq 0

Retomando o cálculo da incógnita x,displaystyle x, temos que x+=x−=−r2⋅(2q−p+2y)displaystyle x_+=x_-=-dfrac r2cdot (2sqrt q-p+2y)

Com isso a equação (x2+q+y)2=(2q−p+2y)⋅(x+r2⋅(2q−p+2y))2,displaystyle (x^2+sqrt q+y)^2=left(2sqrt q-p+2yright)cdot left(x+dfrac r2cdot left(2sqrt q-p+2yright)right)^2, pode ser reescrita como (x2+q+y)2−(2q−p+2y)2⋅(x+r2⋅(2q−p+2y))2=0,displaystyle (x^2+sqrt q+y)^2-left(sqrt 2sqrt q-p+2yright)^2cdot left(x+dfrac r2cdot left(2sqrt q-p+2yright)right)^2=0, ou (x2+q+y)2−(x2q−p+2y+r8q−4p+8y)2=0displaystyle (x^2+sqrt q+y)^2-left(xsqrt 2sqrt q-p+2y+dfrac rsqrt 8sqrt q-4p+8yright)^2=0

que resulta em uma diferença de dois quadrados:

x2+q+y±(x2q−p+2y+r8q−4p+8y)=0displaystyle x^2+sqrt q+ypm left(xsqrt 2sqrt q-p+2y+dfrac rsqrt 8sqrt q-4p+8yright)=0

Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de equações de segundo grau nas equações seguintes:

x2+x2q−p+2y+q+y+r8q−4p+8y=0displaystyle x^2+xsqrt 2sqrt q-p+2y+sqrt q+y+dfrac rsqrt 8sqrt q-4p+8y=0

x2−x2q−p+2y+q+y−r8q−4p+8y=0displaystyle x^2-xsqrt 2sqrt q-p+2y+sqrt q+y-dfrac rsqrt 8sqrt q-4p+8y=0

Ver também |

• Equação polinomial

Referências

Ligações externas |

• Calculadora de equações do quarto grau

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