Yhyjyk

Em matemática e física, o Laplaciano ou Operador de Laplace (ou ainda operador de Laplace-Beltrami), denotado por Δdisplaystyle Delta ,  ou ∇2displaystyle nabla ^2, sendo ∇displaystyle nabla o operador nabla, é um operador diferencial de segunda ordem. O Laplaciano, nome dado em homenagem a Pierre-Simon Laplace, aparece naturalmente em diversas equações de derivadas parciais que modelam problemas físicos.

Definição do laplaciano escalar |

O operador Laplaciano no espaço euclidiano n-dimensional é definido como o divergente do gradiente:

Δϕ=∇2ϕ=∇⋅(∇ϕ)=div⁡(grad⁡ϕ)displaystyle Delta phi =nabla ^2phi =nabla cdot left(nabla phi right)=operatorname div left(operatorname grad phi right)

Equivalentemente, o laplaciano é a soma de todas as derivadas parciais simples de segunda ordem:

Seja u:Rn→Rdisplaystyle u:mathbb R ^nto mathbb R , assim, o Laplaciano é definido como:

Δu=∑i=1n∂2u∂xi2displaystyle Delta u=sum _i=1^nfrac partial ^2upartial x_i^2

Laplaciano escalar em R2displaystyle mathbb R ^2 |

O caso particular em R2displaystyle mathbf R ^2, onde as componentes são denotadas por x e y, temos:

Δu=∂2u∂x2+∂2u∂y2displaystyle Delta u=frac partial ^2upartial x^2+frac partial ^2upartial y^2^[1]

Em coordenadas polares (r,ϕ)displaystyle left(r,phi right), assume a forma:

Δu=1r∂∂r(r∂u∂r)+1r2∂2u∂ϕ2displaystyle Delta u=1 over rpartial over partial rleft(rpartial u over partial rright)+1 over r^2partial ^2u over partial phi ^2

Laplaciano escalar em R3displaystyle mathbb R ^3 |

O caso particular em R3displaystyle mathbf R ^3, onde as componentes são denotadas por x, y e z, temos:

Δu=∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2displaystyle Delta u=frac partial ^2upartial x^2+frac partial ^2upartial y^2+frac partial ^2upartial z^2^[2]

Em coordenadas esféricas (r,θ,ϕ)displaystyle left(r,theta ,phi right), assume a forma:

Δu=1r2∂∂r(r2∂u∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂u∂θ)+1r2sin2⁡θ∂2u∂ϕ2displaystyle Delta u=1 over r^2partial over partial rleft(r^2partial u over partial rright)+1 over r^2sin theta partial over partial theta left(sin theta partial u over partial theta right)+1 over r^2sin ^2theta partial ^2u over partial phi ^2

Em coordenadas cilíndricas (r,ϕ,z)displaystyle left(r,phi ,zright), assume a forma:

Δu=1r∂∂r(r∂u∂r)+1r2∂2u∂ϕ2+∂2u∂z2displaystyle Delta u=1 over rpartial over partial rleft(rpartial u over partial rright)+1 over r^2partial ^2u over partial phi ^2+partial ^2u over partial z^2

Definição do laplaciano vetorial |

Seja A:Rm→Rndisplaystyle mathbf A :mathbb R ^mto mathbb R ^n, o Laplaciano é denotado por Δdisplaystyle Delta e é definido como a aplicação do laplaciano escalar em cada uma das componentes de u=(A1,…,Am)displaystyle mathbf u =left(A_1,ldots ,A_mright):

ΔA=(△A1,…,△Am)=ΔA=(ΔAx)i+(ΔAy)j+(ΔAz)kdisplaystyle Delta mathbf A =left(triangle A_1,ldots ,triangle A_mright)=Delta mathbf A =left(Delta A_xright)mathbf i +left(Delta A_yright)mathbf j +left(Delta A_zright)mathbf k

Laplaciano vetorial em R3displaystyle mathbb R ^3 e coordenadas cartesianas |

Em R3displaystyle mathbb R ^3, vale a igualdade:

ΔA=∇(∇⋅A)−∇×∇×Adisplaystyle Delta mathbf A =nabla left(nabla cdot mathbf A right)-nabla times nabla times mathbf A

O (importante) caso particular em que ∇⋅A=0displaystyle nabla cdot mathbf A =0, vale:

ΔA=−∇×∇×Adisplaystyle Delta mathbf A =-nabla times nabla times mathbf A

ou seja, o laplaciano é negativo do rotacional do rotacional.

Laplaciano vetorial em R3displaystyle mathbb R ^3 e coordenadas cilíndricas |

O sistema de coordenadas cilíndricas usual rdisplaystyle r, θdisplaystyle theta , zdisplaystyle z, em Adisplaystyle mathbf A :

ΔA=(∂2Ar∂r2+1r2∂2Ar∂θ2+∂2Ar∂z2+1r∂Ar∂r−2r2∂Aθ∂θ−Arr2)ar+(∂2Aθ∂r2+1r2∂2Aθ∂θ2+∂2Aθ∂z2+1r∂Aθ∂r+2r2∂Ar∂θ−Aθr2)aθ+(∂2Az∂r2+1r2∂2Az∂θ2+∂2Az∂z2+1r∂Az∂r)azdisplaystyle beginaligned&Delta mathbf A =left(frac partial ^2A_rpartial r^2+frac 1r^2frac partial ^2A_rpartial theta ^2+frac partial ^2A_rpartial z^2+frac 1rfrac partial A_rpartial r-frac 2r^2frac partial A_theta partial theta -frac A_rr^2right)mathbf a _r+\&,,,,,,,,,,,,,left(frac partial ^2A_theta partial r^2+frac 1r^2frac partial ^2A_theta partial theta ^2+frac partial ^2A_theta partial z^2+frac 1rfrac partial A_theta partial r+frac 2r^2frac partial A_rpartial theta -frac A_theta r^2right)mathbf a _theta +\&,,,,,,,,,,,,,left(frac partial ^2A_zpartial r^2+frac 1r^2frac partial ^2A_zpartial theta ^2+frac partial ^2A_zpartial z^2+frac 1rfrac partial A_zpartial rright)mathbf a _z\endaligned

Laplaciano vetorial em R3displaystyle mathbb R ^3 e coordenadas esféricas |

O sistema de coordenadas esféricas usual rdisplaystyle r, θdisplaystyle theta , ϕdisplaystyle phi , em Adisplaystyle mathbf A :

ΔA=(1r∂2(rAr)∂r2+1r2∂2Ar∂θ2+1r2sin2θ∂2Ar∂ϕ2+cot⁡θr2∂Ar∂θ−2r2∂Aθ∂θ−2r2sin⁡θ∂Aϕ∂ϕ−2Arr2−2cot⁡θr2Aθ)ar+(1r∂2(rAθ)∂r2+1r2∂2Aθ∂θ2+1r2sin2θ∂2Aθ∂ϕ2+cot⁡θr2∂Aθ∂θ−2r2cot⁡θsin⁡θ∂Aϕ∂ϕ+2r2∂Ar∂θ−Aθr2sin2θ)aθ+(1r∂2(rAϕ)∂r2+1r2∂2Aϕ∂θ2+1r2sin2θ∂2Aϕ∂ϕ2+cot⁡θr2∂Aϕ∂θ+2r2sin⁡θ∂Ar∂ϕ+2r2cot⁡θsin⁡θ∂Aθ∂ϕ−Aϕr2sin2θ)aϕdisplaystyle beginaligned&Delta mathbf A =left(frac 1rfrac partial ^2(rA_r)partial r^2+frac 1r^2frac partial ^2A_rpartial theta ^2+frac 1r^2sin ^2theta frac partial ^2A_rpartial phi ^2+frac cot theta r^2frac partial A_rpartial theta -frac 2r^2frac partial A_theta partial theta -frac 2r^2sin theta frac partial A_phi partial phi -frac 2A_rr^2-frac 2cot theta r^2A_theta right)mathbf a _r+\&,,,,,,,,,,,,,left(frac 1rfrac partial ^2(rA_theta )partial r^2+frac 1r^2frac partial ^2A_theta partial theta ^2+frac 1r^2sin ^2theta frac partial ^2A_theta partial phi ^2+frac cot theta r^2frac partial A_theta partial theta -frac 2r^2frac cot theta sin theta frac partial A_phi partial phi +frac 2r^2frac partial A_rpartial theta -frac A_theta r^2sin ^2theta right)mathbf a _theta +\&,,,,,,,,,,,,,left(frac 1rfrac partial ^2(rA_phi )partial r^2+frac 1r^2frac partial ^2A_phi partial theta ^2+frac 1r^2sin ^2theta frac partial ^2A_phi partial phi ^2+frac cot theta r^2frac partial A_phi partial theta +frac 2r^2sin theta frac partial A_rpartial phi +frac 2r^2frac cot theta sin theta frac partial A_theta partial phi -frac A_phi r^2sin ^2theta right)mathbf a _phi \endaligned

Propriedades do laplaciano |

O laplaciano é um operador linear:

• Δ(αf(x)+βg(x))=αΔf(x)+βΔg(x)displaystyle Delta left(alpha f(x)+beta g(x)right)=alpha Delta f(x)+beta Delta g(x)

A regra do produto:

• Δ(fg)=(Δf)g+2(∇f)⋅(∇g)+f(Δg)displaystyle Delta (fg)=(Delta f)g+2(nabla f)cdot (nabla g)+f(Delta g)

Ver também |

• Potencial newtoniano


• Gradiente


• Divergente


• Rotacional


• Cálculo vetorial

Referências

Ligações externas |

• Roldao da Rocha Jr. E. Capelas de Oliveira e Jayme Vaz Jr.; O laplaciano: de Gauss a Beltrami até Hodge-de Rham (formato PostScript)

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