Yhyjyk

Uma simples árvore binária de tamanho 9 e altura 3, com um nó raiz de valor 2. A árvore acima não está balanceada (elemento 5 possui 2 filhos a direita e nenhum a esquerda), nem está ordenada - notar que não é uma árvore binária de procura.

Uma árvore binária é uma estrutura de dados caracterizada por:

• Ou não tem elemento algum (árvore vazia).


• Ou tem um elemento distinto, denominado raiz, com dois ponteiros para duas estruturas diferentes, denominadas sub-árvore esquerda e sub-árvore direita.

Perceba que a definição é recursiva e, devido a isso, muitas operações sobre árvores binárias utilizam recursão. É o tipo de árvore mais utilizado na computação. A principal utilização de árvores binárias são as árvores binárias de busca

Definições para árvores binárias |

Os nós de uma árvore binária possuem graus zero, um ou dois. Um nó de grau zero é denominado folha.

Em uma árvore binária, por definição, cada nó poderá ter até duas folhas, sendo que ela se compara com a ABB (árvore binária de busca), apesar de não ter a propriedade da mesma ("na abb, existe uma regra na inserção").

A profundidade de um nó é a distância deste nó até a raiz. Um conjunto de nós com a mesma profundidade é denominado nível da árvore. A maior profundidade de um nó, é a altura da árvore.

Uma árvore "estritamente binária" é uma árvore na qual todo nó tem zero ou duas folhas.

Existem autores, porém, que adotam essa definição para o termo quase completa, e utilizam o termo completa apenas para árvores em que todos os níveis têm o máximo número de elementos.

Definições em teoria dos grafos |

Em teoria dos grafos, uma árvore binária é definida como um grafo acíclico, conexo, dirigido e que cada nó não tem grau maior que 2. Assim sendo, só existe um caminho entre dois nós distintos.

E cada ramo da árvore é um vértice dirigido, sem peso, que parte do pai e vai para o filho.

Inserção |

O algoritmo da inserção em árvores binárias são facilmente implementadas através de função recursiva.

Algoritmo da inserção em C:

 void inserir(struct No **pRaiz, int numero)
 if(*pRaiz == NULL)
* pRaiz = (struct No *) malloc(sizeof(struct No));
 (*pRaiz)→pEsquerda = NULL;
 (*pRaiz)→pDireita = NULL;
 (*pRaiz)→numero = numero;
 else
 if(numero <(*pRaiz)→numero)
 inserir(&(*pRaiz)→pEsquerda, numero));
 else
 inserir(&(*pRaiz)→pDireita, numero));
 
 

Algoritmo da inserção em Java:

public class Arvore 

 public No raiz;

 class No 
 Integer valor;
 No filhoEsquerdo;
 No filhoDireito;

 public No(Integer valor) 
 this.valor = valor;
 
 

 public No inserir(Integer valor) 
 return this.inserir(new No(valor), raiz);
 

 private No inserir(No novo, No anterior) 
 if (raiz == null) 
 raiz = novo;
 return raiz;
 

 if (anterior != null) 
 if (novo.valor <= anterior.valor) 
 anterior.filhoEsquerdo = this.inserir(novo, anterior.filhoEsquerdo);
 else if (novo.valor > anterior.valor) 
 anterior.filhoDireito = this.inserir(novo, anterior.filhoDireito);
 else 
 return null;
 
 else 
 anterior = novo;
 

 return anterior;
 

Algoritmo da inserção em C#:

public class Node
 public Node(int value)
 Value = value;
 
 public decimal Value get; set; 
 public Node Esq get; set; 
 public Node Dir get; set; 


class Tree 
 private Node root;
 public Tree(int value)
 root = new Node(value);
 
 public void Add(int value)
 Add(null, value);
 
 protected virtual void Add(Node node, int value)
 if (node == null)
 node = root;
 if (value < node.Value)
 if (node.Esq == null)
 node.Esq = new Node(value);
 else
 Add(node.Esq, value);
 else
 if (node.Dir == null)
 node.Dir = new Node(value);
 else
 Add(node.Dir, value);
 
 

Percursos em árvore |

Existem três tipos de percursos: Percurso em ordem simétrica(em-ordem), pré-ordem e pós-ordem.

Ordem simétrica |

O algoritmo recursivo desse percurso em C é:

 void emOrdem(struct No *pNo) 
 if(pNo != NULL) 
 emOrdem(pNo→pEsquerda);
 visita(pNo);
 emOrdem(pNo→pDireita);
 
 

O algoritmo recursivo desse percurso em Java é:

public void emOrdem(No no) 
 if (no != null) 
 emOrdem(no.filhoEsquerdo);
 System.out.println(no.valor);
 emOrdem(no.filhoDireito);
 

Para a árvore acima, o percurso seria: 2, 7, 5, 6, 11, 2, 5, 4, 9. Veja a linha de execução:

• emOrdem(2→esq)
  
  • emOrdem(7→esq)
    
    • emOrdem(2→esq)
    
    
    • visita(2)
    
    
    • emOrdem(2→dir)
    
    
  
  
  • visita(7)
  
  
  • emOrdem(7→dir)
    
    • emOrdem(6→esq)
      
      • emOrdem(5→esq)
      
      
      • visita(5)
      
      
      • emOrdem(5→dir)
      
      
    
    
    • visita(6)
    
    
    • emOrdem(6→dir)
      
      • emOrdem(11→esq)
      
      
      • visita(11)
      
      
      • emOrdem(11→dir)
      
      
    
    
  
  


• visita(2)


• emOrdem(2→dir)
  
  • emOrdem(5→esq)
  
  
  • visita(5)
  
  
  • emOrdem(5→dir)
    
    • emOrdem(9→esq)
      
      • emOrdem(4→esq)
      
      
      • visita(4)
      
      
      • emOrdem(4→dir)
      
      
    
    
    • visita(9)
    
    
    • emOrdem(9→dir)
    
    
  
  

Pré-ordem |

O algoritmo recursivo desse percurso em C é:

 void preOrdem(Struct No *pNo)
 if(pNo != NULL)
 visita(pNo);
 preOrdem(pNo→pEsquerda);
 preOrdem(pNo→pDireita);
 
 

O algoritmo recursivo desse percurso em Java é:

public void preOrdem(No no) 
 if (no != null)
 System.out.println(no.valor);
 preOrdem(no.filhoEsquerdo);
 preOrdem(no.filhoDireito);
 

Para a árvore acima, o percurso seria: 2, 7, 2, 6, 5, 11, 5, 9 e 4. Veja a linha de execução:

• visita(2)


• preOrdem(2→esq)
  
  • visita(7)
  
  
  • preOrdem(7→esq)
    
    • visita(2)
    
    
    • preOrdem(2→esq)
    
    
    • preOrdem(2→dir)
    
    
  
  
  • preOrdem(7→dir)
    
    • visita(6)
    
    
    • preOrdem(6→esq)
      
      • visita(5)
      
      
      • preOrdem(5→esq)
      
      
      • preOrdem(5→dir)
      
      
    
    
    • preOrdem(6→dir)
      
      • visita(11)
      
      
      • preOrdem(11→esq)
      
      
      • preOrdem(11→dir)
      
      
    
    
  
  


• preOrdem(2→dir)
  
  • visita(5)
  
  
  • preOrdem(5→esq)
  
  
  • preOrdem(5→dir)
    
    • visita(9)
    
    
    • preOrdem(9→esq)
      
      • visita(4)
      
      
      • preOrdem(4→esq)
      
      
      • preOrdem(4→dir)
      
      
    
    
    • preOrdem(9→dir)
    
    
  
  

Pós-ordem |

O algoritmo recursivo desse percurso em C é:

 void posOrdem(Struct No *pNo)
 if(pNo != NULL)
 posOrdem(pNo→pEsquerda);
 posOrdem(pNo→pDireita);
 visita(pNo);
 
 

O algoritmo recursivo desse percurso em Java é:

public void posOrdem(No no) 
 if (no != null) 
 posOrdem(no.filhoEsquerdo);
 posOrdem(no.filhoDireito);
 System.out.println(no.valor);
 

Para a árvore acima, o percurso seria: 2, 5, 11, 6, 7, 4, 9, 5 e 2. Veja a linha de execução:

• posOrdem(2→esq)
  
  • posOrdem(7→esq)
    
    • posOrdem(2→esq)
    
    
    • posOrdem(2→dir)
    
    
    • visita(2)
    
    
  
  
  • posOrdem(7→dir)
    
    • posOrdem(6→esq)
      
      • posOrdem(5→esq)
      
      
      • posOrdem(5→dir)
      
      
      • visita(5)
      
      
    
    
    • posOrdem(6→dir)
      
      • posOrdem(11→esq)
      
      
      • posOrdem(11→dir)
      
      
      • visita(11)
      
      
    
    
    • visita(6)
    
    
  
  
  • visita(7)
  
  


• posOrdem(2→dir)
  
  • posOrdem(5→esq)
  
  
  • posOrdem(5→dir)
    
    • posOrdem(9→esq)
      
      • posOrdem(4→esq)
      
      
      • posOrdem(4→dir)
      
      
      • visita(4)
      
      
    
    
    • posOrdem(9→dir)
    
    
    • visita(9)
    
    
  
  
  • visita(5)
  
  


• visita(2)

Contagem dos nós |

Uma árvore binária que tenha todas as suas folhas completas possui o número de nós (N)displaystyle (N), em relação ao total de níveis da árvore (n)displaystyle (n), dado pela seguinte expressão:

Nº de nós (N)=2n−1displaystyle textNº de nós (N)=2^n-1

Exemplos a partir de programação

Em Java

public int contagem(No no)
 return (no == null) ? 0 : 1 + contagem(no.filhoEsquerdo) + contagem(no.filhoDireito);

Em C

 int contagem(struct node *tree) 
 return (tree != NULL) ? (contagem(tree->left) + contagem(tree->right) + 1) : 0;
 

Transformação de uma árvore n-ária |

Uma árvore n-ária qualquer (árvore cujos nós possuem graus menores ou iguais a n) podem ser representados por uma árvore binária. Um exemplo dessa transformação pode ser vista na imagem abaixo:

Métodos para representação de árvores binárias |

Uma das maneiras mais simples de representar árvores binárias em linguagens de programação é por meio de arranjos unidimensionais (vetores). Caso a raiz esteja na posição zero, dado um nó de índice i qualquer, os seus filhos terão índices 2i+1displaystyle 2i+1 e 2i+2displaystyle 2i+2 e o seu pai terá índice piso((i - 1)/2). Caso a raiz esteja na posição um, os filhos terão índices 2idisplaystyle 2i e 2i+1displaystyle 2i+1 e o pai terá índice piso(i/2). Essa implementação é utilizada para representar árvores completas ou quase completas. Heaps, que são árvores binárias quase completas são implementadas na forma de um vetor de uma maneira bastante eficiente.

Apesar da simplicidade, essa representação requer uma grande quantidade de memória contígua para o armazenamento de árvores grandes, o crescimento desta é díficil de implementar e manter e pode haver grande quantidade de desperdício de memória.

Uma pequena árvore binária com raiz na posição 0, representada como um vetor.

Em uma linguagem que possua suporte a estruturas e referências (por exemplo pascal e C), as árvores podem ser implementadas a partir de nós, com um, ou mais, campos para a(s) informação(ões) principal(is) e dois campos apontadores especiais, denominados esquerda e direita, que fazem referência às sub-árvores esquerda e direita, respectivamente. Algumas vezes, há um apontador para o pai. Em um nó do tipo folha, os campos apontadores possuem valores especiais (nil em Pascal e "NULL" em C).

Ver também |

• Árvore AVL


• Árvore B


• Árvore B+


• Árvore binária de busca


• Árvore binária com costura