Yhyjyk

Em matemática, especificamente na geometria algébrica, o grupo Cremona, introduzido por Cremona (1863, 1865)
, é o grupo dos automorfismos birracionais do espaço projetivo de ordem ndisplaystyle n sobre um corpo kdisplaystyle k. Este é denotado por Cr(Pkn)displaystyle Cr(mathbb P _k^n) ou Bir(Pⁿ(k)) ou Cr_n(k).

O grupo Cremona é identificado naturalmente com o grupo de automorfismos Aut_k(k(x₁, ..., x_n)) do corpo das funções racionais em n variáveis sobre k, ou em outras palavras uma extensão transcendente pura de k, com grau de transcendencia n.

O grupo linear projetivo geral de ordem n+1, de transformações projetivas, está contido no grupo Cremona de ordem n. Os dois grupos são iguais somente quando n=0 or n=1, neste caso tanto o numerador quanto o denominador da transformação devem ser lineares.

O grupo Cremona em 2 dimensões |

Em duas dimensões, Max Noether e Castelnuovo mostraram que o grupo Cremona complexo é gerado pela transformação quadrática padrão, junto com PGL(3, k), embora houvesse alguma controvérsia sobre se suas provas estavam corretas, e Gizatullin ( 1983) deu um conjunto completo de relações para esses geradores. A estrutura deste grupo ainda não é bem compreendida, embora tenha havido muito trabalho em encontrar elementos ou subgrupos dele.

• 
  Cantat & Lamy (2010) mostrou que o grupo de Cremona não é simples como um grupo abstrato;


• Blanc mostrou que o grupo não tem subgrupos normais não triviais que também são fechados em uma topologia natural.


• Para os subgrupos finitos do grupo de Cremona, ver Dolgachev & Iskovskikh (2009).

O grupo de Cremona em dimensões maiores |

Pouco se sabe sobre a estrutura do grupo de Cremona em três dimensões e dimensões superiores, embora muitos elementos dele tenham sido descritos. Blanc (2010) mostrou que ele é (linearmente) conectado, respondendo a uma questão de Serre (2010). Não há análogo fácil do teorema de Noether-Castelnouvo pois Hudson (1927) mostrou que o grupo Cremona em dimensão pelo menos 3 não é gerado por seus elementos de grau limitados por qualquer inteiro fixo.

Grupos de De Jonquières |

Um grupo de De Jonquières é um subgrupo do grupo Cremona da seguinte forma. Escolha a base transcendente x₁, ..., x_n para a extensão do corpo k. Então o grupo de De Jonquières é um subgrupo dos automorfismos de k(x₁, ..., x_n) que mapeia o subcorpo k(x₁, ..., x_r) sobre si mesmo para algum r≤n. Este tem subgrupo normal dado pelo grupo Cremona dos automorfismos k(x₁, ..., x_n) sobre o corpo k(x₁, ..., x_r), e o grupo quociente é o grupo Cremona k(x₁, ..., x_r) sobre o corpo k. Este pode também ser considerado como o grupo dos automorfismo birracionais de um feixe de fibras P^r×P^n–r→P^r.

Quando n=2 e r=1 o grupo de De Jonquières é o grupo de Cremona das transformações que fixam um feixe de linhas através de um dado ponto, e é o produto semidireto de PGL₂(k) e PGL₂(k(t)).

Referências |

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  Dolgachev, Igor V. (2012), Classical Algebraic Geometry: a modern view (PDF), ISBN 978-1-107-01765-8, Cambridge University Press 
  


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  Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Cremona_transformation», Encyclopedia of Mathematics, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
  


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  Hudson, Hilda Phoebe (1927), Cremona transformations in plane and space, ISBN 978-0-521-35882-8, Cambridge University Press, Reprinted 2012 
  


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• 
  Serre, Jean-Pierre (2010), «Le groupe de Cremona et ses sous-groupes finis» (PDF), ISBN 978-2-85629-291-4, Astérisque, ISSN 0303-1179, Seminaire Bourbaki 1000 (332): 75–100, MR 2648675 
  


• 
  Cremona group (em inglês) - Springer Online Reference Works