Yhyjyk

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Teoria das probabilidades
Axiomas de probabilidade
Espaço de probabilidade Espaço amostral Evento primário Evento Variável aleatória Medida de probabilidade
Evento complementar Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade conjunta Probabilidade marginal Probabilidade condicional
Independência Independência condicional Lei da probabilidade total Lei dos grandes números Teorema de Bayes Desigualdade de Boole
Diagrama de Venn Diagrama de árvore
v d e

Na teoria da probabilidade e na estatística, a variância de uma variável aleatória ou processo estocástico é uma medida da sua dispersão estatística, indicando "o quão longe" em geral os seus valores se encontram do valor esperado.^[1][2][3][4]

A variância de uma variável aleatória real é o seu segundo momento central e também o seu segundo cumulante (os cumulantes só diferem dos momentos centrais a partir do 4º grau, inclusive). Sendo o seu valor o quadrado do Desvio Padrão.

História do conceito |

O termo variância foi introduzido por Ronald Fisher num ensaio de 1918 intitulado de The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance. O conceito de variância é análogo ao conceito de momento de inércia em mecânica clássica.

Definição |

Se μ = E(X) é o valor esperado (média) da variável aleatória X, então a variância é:

var⁡(X)=E⁡((X−μ)2).displaystyle operatorname var (X)=operatorname E ((X-mu )^2).

Isto é, é o valor esperado do quadrado do desvio de X da sua própria média. Em linguagem comum isto pode ser expresso como "A média do quadrado da distância de cada ponto até a média". É assim a "média do quadrado dos desvios". A variância da variável aleatória "X" é geralmente designada por var⁡(X)displaystyle operatorname var (X), σX2displaystyle sigma _X^2, ou simplesmente σ2displaystyle sigma ^2.

Notar que a definição acima pode ser usada quer para variáveis aleatórias discretas, quer para contínuas.

Muitas distribuições, tais como a distribuição Cauchy, não têm variância porque o integral relevante diverge. Em particular, se uma distribuição não tem valores esperados, ela também não tem variância.

O contrário não é verdadeiro: há distribuições para as quais existe valor esperado mas não existe variância, como, por exemplo, a distribuição t de Student com 2 graus de liberdade. Um contra-exemplo mais simples é uma distribuição discreta sobre N⋆displaystyle mathbb N ^star , em que a probabilidade de cada ponto n é proporcional a 1n3displaystyle frac 1n^3,. O valor esperado será calculado através de uma série convergente Σ1n2displaystyle Sigma frac 1n^2,, e a variância através de uma série divergente Σ1ndisplaystyle Sigma frac 1n,.

Propriedades |

Se a variância pode ser calculada (ou seja, a integral ou o somatório convergem), podemos concluir que ela nunca é negativa, porque os quadrados são sempre positivos ou nulos.

A unidade de variância é o quadrado da unidade de observação. Por exemplo, a variância de um conjunto de alturas medidas em centímetros será dada em centímetros quadrados. A variância de um preço, medido, por exemplo, em euros por metro cúbico, será dada em euros quadrados por metro à sexta potência, uma unidade que não faz nenhum sentido prático. Este facto é inconveniente e levou muitos estatísticos a usar a raiz quadrada da variância, conhecida como o desvio padrão, como um sumário da dispersão.

Pode ser provado facilmente a partir da definição que a variância não depende do valor médio μdisplaystyle mu . Isto é, se a variável é "deslocada" por uma quantidade b ao tomarmos X+b, a variância da variável aleatória resultante permanece inalterada. Por contraste, se a variável for multiplicada por um factor de escala a, a variância é então multiplicada por a². Mais formalmente, se a e b forem constantes reais e X uma variável aleatória cuja variância está definida, então:

var⁡(aX+b)=a2var⁡(X)displaystyle operatorname var (aX+b)=a^2operatorname var (X)

Outra fórmula para a variância que se deduz de forma simples a partir da definição acima é:

var⁡(X)=E⁡(X2)−(E⁡(X))2.displaystyle operatorname var (X)=operatorname E (X^2)-(operatorname E (X))^2.

Na prática usa-se muito frequentemente esta fórmula para calcular mais rapidamente a variância.

Uma razão para o uso da variância em preferência a outras medidas de dispersão é que a variância da soma (ou diferença) de variáveis aleatórias independentes é a soma das suas variâncias. Uma condição não tão estricta, chamada de incorrelação (uncorrelatedness) também é suficiente. Para duas variáveis temos:

var⁡(X+Y)=var⁡(X)+var⁡(Y)+2cov⁡(X,Y).displaystyle operatorname var (X+Y)=operatorname var (X)+operatorname var (Y)+2operatorname cov (X,Y).

E em geral, para uma combinação linear qualquer:

Var⁡(∑i=1NaiXi)=∑i,j=1NaiajCov⁡(Xi,Xj)=∑i=1Nai2Var⁡(Xi)+∑i≠jaiajCov⁡(Xi,Xj)=∑i=1Nai2Var⁡(Xi)+2∑1≤i<j≤NaiajCov⁡(Xi,Xj).displaystyle beginalignedoperatorname Var left(sum _i=1^Na_iX_iright)&=sum _i,j=1^Na_ia_joperatorname Cov (X_i,X_j)\&=sum _i=1^Na_i^2operatorname Var (X_i)+sum _inot =ja_ia_joperatorname Cov (X_i,X_j)\&=sum _i=1^Na_i^2operatorname Var (X_i)+2sum _1leq i<jleq Na_ia_joperatorname Cov (X_i,X_j).endaligned

Aqui covdisplaystyle operatorname cov é a covariância, a qual é zero para variáveis aleatórias não correlacionadas.

Variância da população e variância da amostra |

Em estatística, o conceito de variância também pode ser usado para descrever um conjunto de observações. Quando o conjunto das observações é uma população, é chamada de variância da população. Se o conjunto das observações é (apenas) uma amostra estatística, chamamos-lhe de variância amostral (ou variância da amostra).

A variância da população y_i onde i = 1, 2, ...., N é dada por

σ2=1N∑i=1N(yi−μ)2,displaystyle sigma ^2=frac 1Nsum _i=1^Nleft(y_i-mu right)^2,

onde μdisplaystyle mu é a média da população. Na prática, quando lidando com grandes populações, é quase sempre impossível achar o valor exacto da variância da população, devido ao tempo, custo e outras restrições aos recursos.

Um método comum de estimar a variância da população é através da tomada de amostras.

Quando estimando a variância da população usando n amostras aleatórias x_i onde i = 1, 2, ..., n, a fórmula seguinte é um estimador não enviesado:

s2=1n−1∑i=1n(xi−x¯)2,displaystyle s^2=frac 1n-1sum _i=1^nleft(x_i-overline xright)^2,

onde x¯displaystyle overline x é a média da amostra.

Notar que o denominador n-1 acima contrasta com a equação para a variância da população. Uma fonte de confusão comum é que o termo variância da amostra e a notação s² pode referir-se quer ao estimador não enviesado da variância da população acima como também àquilo que é em termos estrictos, a variância da amostra, calculada usando n em vez de n-1.

Intuitivamente, o cálculo da variância pela divisão por n em vez de n-1 dá uma subestimativa da variância da população. Isto porque usamos a média da amostra x¯displaystyle overline x como uma estimativa da média da população μdisplaystyle mu , o que não conhecemos. Na prática, porém, para grandes n, esta distinção é geralmente muito pequena.

Generalizações |

Se X é uma variável aleatória vectorial, com valores em Rⁿ, e considerado como um vector coluna, então a generalização natural da variância é E[(X − μ)(X − μ)^T], onde μ = E(X) e X^T é a transposta de X, e logo um vector-linha. A variância é uma matriz quadrada não-negativa definida, referida geralmente como a matriz de covariância.

Se X é uma variável aleatória de valores complexos, então a sua variância é E[(X − μ)(X − μ)^*], onde X^* é o conjugado complexo de X. Esta variância, assim como no caso real, é uma matriz quadrada não-negativa definida, cuja diagonal são números reais não-negativos.

Distribuição da variância |

Como a variância é uma função de variáveis aleatórias, a variância amostral é em si também uma variável aleatória, portanto também tem distribuição. Então, se y_i são observações independentes de uma distribuição normal, pelo teorema de Cochran a variância amostral s² tem uma distribuição qui-quadrado:

(n−1)s2σ2∼χn−12.displaystyle (n-1)frac s^2sigma ^2sim chi _n-1^2.

Uma consequência direta deste resultado é que a esperança da variância amostral E(s²) = σ².

Se as observações y_i são independentes e identicamente distribuídas, mas não necessariamente distribuidas como uma normal, então

E⁡[s2]=σ2,Var⁡[s2]=σ4(2n−1+κn),displaystyle operatorname E [s^2]=sigma ^2,quad operatorname Var [s^2]=sigma ^4left(frac 2n-1+frac kappa nright),

onde κ é a curtose da distribuição. Se as condições da lei dos grandes números valerem, então s² é um estimador consistente de  σ².

Variância assintótica |

Ver artigo principal: Convergência de variáveis aleatórias

A variância assintótica é a variância limite, ou seja, aquela que a sequência, ou estimador, tem no limite.

Ver também |

• Coeficiente de variação


• Valor esperado


• Desvio padrão


• Moda


• Obliquidade


• Curtose


• ANOVA

Referências

• Portal da matemática

• Portal da probabilidade e estatística