Redução de ordem Referências Ver também | Menu de navegação
Equações diferenciaisJean le Rond d’Alembert
equação diferencial ordináriahomogêneaequaçãoequação separávelequação diferencialcoeficienteequaçãoequaçãoconstante
O método da redução de ordem é utilizado para se determinar a solução de uma equação diferencial ordinária e homogênea de segunda ordem.[1]
Suponha que seja conhecida uma solução y1(t)displaystyle y_1(t),, não identicamente nula, de
y″+p(t)y′+q(t)y=0displaystyle y''+p(t)y'+q(t)y=0,. (1)
Para encontrar uma segunda solução, seja
y=v(t)y1(t)displaystyle y=v(t)y_1(t), (2)
então,
- y′=v′(t)y1(t)+v(t)y1′(t)displaystyle y'=v'(t)y_1(t)+v(t)y'_1(t),
e
- y″=v″(t)y1(t)+2v′(t)y1′(t)+v(t)y1″(t)displaystyle y''=v''(t)y_1(t)+2v'(t)y'_1(t)+v(t)y''_1(t),
Substituindo essas expressões para y,y′displaystyle y,y' e y″displaystyle y'' na equação (1) e unindo os termos, encontramos:
y1v″+(2y1′+py1)v′+(y1″+py1′+qy1)v=0displaystyle y_1v''+(2y'_1+py_1)v'+(y''_1+py'_1+qy_1)v=0,.
A equação acima é, de fato, uma equação de primeira ordem para a função v′displaystyle v' e pode ser resolvida como uma equação de primeira ordem ou como uma equação separável. Assim, uma vez encontrada v′displaystyle v', vdisplaystyle v é obtida por integração.
Finalmente, a solução ydisplaystyle y é determinada da equação (2). Este procedimento é chamado método da redução de ordem, já que o passo crucial é a resolução de uma equação diferencial de primeira ordem para v′displaystyle v' em vez da equação de segunda ordem original para ydisplaystyle y.[2]
2× + y= 6
Dado que y1(t)=t−1displaystyle y_1(t)=t^-1, é uma solução de
2t2y″+3ty′−y=0displaystyle 2t^2y''+3ty'-y=0, (3)
t>0displaystyle t>0,
encontrar uma segunda solução linearmente independente.[3]
Vamos fazer y=v(t)t−1displaystyle y=v(t)t^-1,, então:
y′=v′t−1−vt−2displaystyle y'=v't^-1-vt^-2,,
y″=v″t−1−2v′t−2+2vt−3displaystyle y''=v''t^-1-2v't^-2+2vt^-3,.
Substituindo y,y′displaystyle y,y' e y″displaystyle y'' na equação (3) e unindo os termos, obtemos:
- 2t2(v″t−1−2v′t−2+2vt−3)+3t(v′t−1−vt−2)−vt−1displaystyle 2t^2(v''t^-1-2v't^-2+2vt^-3)+3t(v't^-1-vt^-2)-vt^-1,
- =2tv″+(−4+3)v′+(4t−1−3t−1−t−1)vdisplaystyle =2tv''+(-4+3)v'+(4t^-1-3t^-1-t^-1)v,
- =2tv″−v′displaystyle =2tv''-v',
=0displaystyle =0 (4)
Note que o coeficiente de v é nulo, como deveria. Separando as variáveis na equação (4) e resolvendo para v'(t), encontramos:
v′(t)=ct1/2displaystyle v'(t)=ct^1/2;
então,
v(t)=23ct3/2+kdisplaystyle v(t)=frac 23ct^3/2+k.
Segue que
y=23ct1/2+kt−1displaystyle y=frac 23ct^1/2+kt^-1,
onde c e k são constantes arbitrárias. A segunda parcela desta última equação é um múltiplo de y1displaystyle y_1 e pode ser retirada, mas a primeira parcela nos dá uma solução nova independente. Desprezando a constante multiplicativa, temos:
y2=t1/2displaystyle y_2=t^1/2.
Referências
↑ E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 91. ISBN 978-85-216-1499-9 A referência emprega parâmetros obsoletos|coautor=(ajuda)
↑ E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 93. ISBN 978-85-216-1499-9 A referência emprega parâmetros obsoletos|coautor=(ajuda)
↑ E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 94. ISBN 978-85-216-1499-9 A referência emprega parâmetros obsoletos|coautor=(ajuda)
Ver também |
- Método do fator integrante
- Equações separáveis
- Método da variação de parâmetros
- Equação diferencial exata
- Coeficientes a determinar
Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)
