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O método da redução de ordem é utilizado para se determinar a solução de uma equação diferencial ordinária e homogênea de segunda ordem.^[1]

Suponha que seja conhecida uma solução $displaystyle y_1(t),$ , não identicamente nula, de

displaystyle y''+p(t)y'+q(t)y=0,

. (1)

Para encontrar uma segunda solução, seja

displaystyle y=v(t)y_1(t),

(2)

então,

displaystyle y'=v'(t)y_1(t)+v(t)y'_1(t),

e

displaystyle y''=v''(t)y_1(t)+2v'(t)y'_1(t)+v(t)y''_1(t),

Substituindo essas expressões para $displaystyle y,y'$ e $displaystyle y''$ na equação (1) e unindo os termos, encontramos:

displaystyle y_1v''+(2y'_1+py_1)v'+(y''_1+py'_1+qy_1)v=0,

.

A equação acima é, de fato, uma equação de primeira ordem para a função $v'$ e pode ser resolvida como uma equação de primeira ordem ou como uma equação separável. Assim, uma vez encontrada $v'$ , $v$ é obtida por integração.

Finalmente, a solução $y$ é determinada da equação (2). Este procedimento é chamado método da redução de ordem, já que o passo crucial é a resolução de uma equação diferencial de primeira ordem para $v'$ em vez da equação de segunda ordem original para $y$ .^[2]

2× + y= 6

Dado que $displaystyle y_1(t)=t^-1,$ é uma solução de

displaystyle 2t^2y''+3ty'-y=0,

(3)

displaystyle t>0

,

encontrar uma segunda solução linearmente independente.^[3]

Vamos fazer $displaystyle y=v(t)t^-1,$ , então:

displaystyle y'=v't^-1-vt^-2,

,

displaystyle y''=v''t^-1-2v't^-2+2vt^-3,

.

Substituindo $displaystyle y,y'$ e $displaystyle y''$ na equação (3) e unindo os termos, obtemos:

displaystyle 2t^2(v''t^-1-2v't^-2+2vt^-3)+3t(v't^-1-vt^-2)-vt^-1,

displaystyle =2tv''+(-4+3)v'+(4t^-1-3t^-1-t^-1)v,

displaystyle =2tv''-v',

displaystyle =0

(4)

Note que o coeficiente de v é nulo, como deveria. Separando as variáveis na equação (4) e resolvendo para v'(t), encontramos:

displaystyle v'(t)=ct^1/2

;

então,

displaystyle v(t)=frac 23ct^3/2+k

.

Segue que

displaystyle y=frac 23ct^1/2+kt^-1

,

onde c e k são constantes arbitrárias. A segunda parcela desta última equação é um múltiplo de $displaystyle y_1$ e pode ser retirada, mas a primeira parcela nos dá uma solução nova independente. Desprezando a constante multiplicativa, temos:

displaystyle y_2=t^1/2

.

Referências

↑ E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 91. ISBN 978-85-216-1499-9 A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)

↑ E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 93. ISBN 978-85-216-1499-9 A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)

↑ E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 94. ISBN 978-85-216-1499-9 A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)

Ver também |

Método do fator integrante

Equações separáveis

Método da variação de parâmetros

Equação diferencial exata

Coeficientes a determinar

Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)

[1] E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 91. ISBN 978-85-216-1499-9 A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)

[2] E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 93. ISBN 978-85-216-1499-9 A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)

[3] E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 94. ISBN 978-85-216-1499-9 A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)

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